如何证明散度定理与高斯定理？《张朝阳的物理课》中讲解的矢量微积分

张朝阳在直播中首先介绍了矢量微积分的基本概念，场是一个空间的分布，可以是标量场或矢量场，标量场中每个点的量可以用一个数描述，而矢量场则需要矢量来描述，张朝阳强调了微分算子▽的重要性，它具有微分和矢量双重运算性质，可以简化运算并使推导过程更加简明。▽算子作用在标量场上得到梯度，与矢量场做点乘运算得到散度，与自身点乘得到拉普拉斯算子。

随后，张朝阳讨论了散度定理，对于一个闭合曲面，定义一个矢量场，其大小为面积元面积，方向为法向，将矢量场与面积微元点乘后对整个闭合曲面积分，得到通量，散度定理指出，这个通量等于闭合曲面内矢量场的散度的体积分，张朝阳利用简单的几何知识证明了这个定理，他将矢量写成分量形式，通量可以写成三个分量的积分相加，选取一个细小的平行于z轴的长方体，它在封闭曲面上截取了两个面积微元，而在xy平面上截取的面积微元即为曲面上面积微元在xy平面上的投影，由于长方体截取的两曲面面积元的法向的z分量是相反的，可以把它们之差写成关于z积分的形式，将曲面积分转化为体积积分，对其他分量也可以用类似的方法处理，最终得到散度定理。

接下来，张朝阳讨论了引力，他首先给出了引力势，并求解其梯度得到引力场强度，质点的质量乘以引力场强度就得到该质点受到的引力，对于多个质点产生的引力势和引力场，可以直接应用叠加原理得到，如果质量是以连续分布的形式存在，可以将求和改为积分，选取一个闭合曲面，计算曲面上引力场强度矢量的通量，交换了曲面积分与质量积分的顺序，曲面面积元在沿面积元与质量微元的连线上的投影，正是面积元所张立体角乘以面积元到质量微元的距离的平方，这个距离的平方可以与引力场强公式中的距离平方相消，于是关于闭合曲面的积分可以化为立体角的积分，由于曲面外的质量微元的立体角在闭合曲面截取了两个面积微元，并且两者的法线在立体角方向上的分量是方向相反的，做积分时刚好抵消，只有处在闭合曲面内的体积微元才有贡献，最终得到高斯定理，即引力场强度关于一个闭合曲面的通量正比于闭合曲面包含的总质量，将散度定理应用到引力场，并结合高斯定理，可以得到引力场强度的散度与质量密度的关系，再根据引力场强度与引力势的关系，可知拉普拉斯算子作用在引力势上就等于质量密度，即泊松公式。

张朝阳的物理课已经直播了六十多期，从去年11月开始，他从经典物理学讲起，科普了牛顿运动定律等知识，然后从经典物理的“两朵乌云”说起，向近现代物理过渡，探讨了黑体辐射理论中的维恩公式、普朗克公式等，此后逐步进入量子力学领域，从基础的薛定谔方程等理论内容，到氢原子波函数，再到气体定容比热的温度阶梯等更加具体实用的案例，内容丰富、覆盖广泛，理论公式由浅入深、繁简交融。

张朝阳的物理课直播风格独树一帜，注重硬核推导，他通过一步一步详尽的数学计算，推导出相关的物理公式，把每个公式从头到尾拆解得十分清晰。

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