三阶无穷小是什么意思(二阶无穷小三阶无穷小什么意思）

三阶无穷小，简单来说，就是当我们在进行微积分中的极限运算时，如果一个函数在某一点的极限值趋近于0的速度非常快，快到它的一阶导数、二阶导数也都趋近于0，那么这个函数在该点的三阶导数趋近于0，我们就称这个函数是三阶无穷小。

举个例子，考虑函数f(x) = (x-1)^5，当我们计算它在x=1处的极限时，会发现f(1) = 0，f'(1) = 0，f''(1) = 0，而f'''(1) = 0，这里的f'''(1)就是三阶导数，它在x=1处也趋近于0，所以我们可以称f(x)在x=1处是三阶无穷小。

再来看一个稍微复杂点的例子，比如g(x) = sin(x)/x，这个函数在x=0处的极限是1，但是直接计算会得到0/0的不确定形式，我们可以通过求导来解决这个问题，一阶导数g'(x) = (x*cos(x) - sin(x))/x^2，在x=0处是0，二阶导数g''(x) = (2*cos(x) - x*sin(x) - cos(x))/x^3，在x=0处也是0，当我们计算到三阶导数g'''(x) = (6*x*sin(x) - 6*cos(x) - x^2*cos(x))/x^4时，我们发现在x=0处，g'''(0) = 0，g(x)在x=0处也是三阶无穷小。

这些例子展示了三阶无穷小的概念，即在某个点，一个函数及其前两阶导数都趋近于0，那么它的三阶导数也趋近于0，这就是三阶无穷小的直观意义。