什么叫非零矩阵(为什么非零矩阵的特征值全为零）

非零矩阵，简单来说，就是任何一个元素都不是零的矩阵，为什么它的特征值会全为零呢？这其实是个误解，实际上，非零矩阵的特征值并不一定全为零，特征值是矩阵的一个属性，它与矩阵是否非零没有直接关系，让我给你举个例子来解释一下。

想象一下，我们有一个2x2的矩阵M：

[ M = egin{bmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 end{bmatrix} ]

这个矩阵显然不是零矩阵，因为它的所有元素都是非零的，现在，如果我们要找这个矩阵的特征值，我们就需要解特征方程：

[ det(M - lambda I) = 0 ]

lambda )是特征值，I是单位矩阵。

对于上面这个矩阵，我们有：

[ detleft(egin{bmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 end{bmatrix} - lambda egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}ight) = 0 ]

[ detleft(egin{bmatrix} 3-lambda & 2 \ 1 & 4-lambda end{bmatrix}ight) = 0 ]

[ (3-lambda)(4-lambda) - (2)(1) = 0 ]

[ lambda^2 - 7lambda + 10 = 0 ]

解这个二次方程，我们得到两个特征值：

[ lambda_1 = 2, lambda_2 = 5 ]

你看，这个非零矩阵的特征值并不是零，而是2和5，这说明特征值与矩阵是否非零没有必然的联系，每个矩阵都有它自己独特的特征值，这些特征值取决于矩阵的具体元素。

下次当你遇到一个非零矩阵时，不要急于下结论说它的特征值全为零，每个矩阵都是独特的，它可能有着各种各样的特征值。