什么是泰勒公式(高中常用十个泰勒展开公式记忆）

泰勒公式（Taylor's Formula）是微积分中的一个重要公式，它将一个函数在某点的值用该函数在该点的某些导数的值来表示的级数展开式，泰勒公式允许我们用一个多项式函数来近似一个足够平滑的函数，并且这种近似在函数定义的某点附近是非常精确的。

泰勒公式的一般形式为：

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) $$

$R_n(x)$ 是余项，表示 $f(x)$ 与其 $n$ 阶泰勒多项式的差。

在高中阶段，常见的泰勒展开公式（或称为麦克劳林展开，即 $a=0$ 的情况）有：

1、指数函数 $e^x$

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^\theta x^{n+1}}{(n+1)!} \quad (\theta \in (0,1)) $$

2、自然对数函数 $\ln(1+x)$

$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + R_n $$

3、正弦函数 $\sin x$

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^{m-1}x^{2m-1}}{(2m-1)!} + R_{2m} $$

4、余弦函数 $\cos x$

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^{m}x^{2m}}{(2m)!} + R_{2m+1} $$

5、$(1+x)^a$ 的幂函数（$a$ 为实数）

$$ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $$

6、$\frac{1}{1-x}$

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \frac{x^{n+1}}{1-x} $$

7、$\frac{1}{1+x}$

$$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-x)^n + \frac{(-x)^{n+1}}{1+x} $$

8、反正切函数 $\arctan x$

$$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \frac{(-1)^{m-1}x^{2m-1}}{2m-1} + R_{2m} $$

9、双曲正弦函数 $\sinh x$

$$ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots $$

10、双曲余弦函数 $\cosh x$

$$ \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots $$

注意：上述公式中的 $R_n$ 或 $R_{2m}$ 表示余项，具体形式依赖于 $n$ 或 $m$ 以及函数的性质，在实际应用中，常常只取前几项来近似原函数。