等价无穷小什么意思(有没有等价无穷大的说法）

等价无穷小是微积分中的一个重要概念，主要用于简化极限的计算过程，下面我们先来明确等价无穷小的含义，再探讨是否有等价无穷大的说法。

等价无穷小的定义

设当$x \to a$时（或$x \to \infty$），两个函数$f(x)$和$g(x)$都趋于0，即：

$$\lim_{{x \to a}} f(x) = 0, \quad \lim_{{x \to a}} g(x) = 0$$

（或$x \to \infty$时的情况）。

如果它们的商的极限为1，即：

$$\lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$

（或$\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$），

则称$f(x)$和$g(x)$是当$x \to a$（或$x \to \infty$）时的等价无穷小，记作$f(x) \sim g(x)$（当$x \to a$，或$x \to \infty$）。

等价无穷大的讨论

在数学上，虽然没有“等价无穷大”的直接术语，但我们可以从等价无穷小的概念出发，通过取倒数的方式理解“等价无穷大”的概念，即，如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在$x \to a$（或$x \to \infty$）时都趋于无穷大，且它们的倒数是等价无穷小，则我们可以说$f(x)$和$g(x)$在某种意义上是“等价无穷大”的。

$$\lim_{{x \to a}} \frac{1/f(x)}{1/g(x)} = 1$$

（或$\lim_{{x \to \infty}} \frac{1/f(x)}{1/g(x)} = 1$），

则我们可以说$f(x)$和$g(x)$在$x \to a$（或$x \to \infty$）时是“等价无穷大”的，但需要注意的是，这并不是一个标准的数学术语，而是在某些情境下为了方便理解而采用的表述。

等价无穷小是微积分中的一个重要概念，用于简化极限的计算。

- 虽然没有“等价无穷大”的直接术语，但我们可以通过取倒数的方式理解“等价无穷大”的概念。

- 在实际应用中，我们更常使用等价无穷小来简化计算，而“等价无穷大”则是一个相对不常见的表述。