什么时候用等价无穷小(什么情况下等价无穷小不能用）

等价无穷小这玩意儿，简直就是微积分里的瑞士军刀，哪儿都能用得上，但得用对时候，不然就成双刃剑了，简单说，当一个函数在某个点附近的行为可以用另一个更简单的函数来近似表示，而且这个近似随着变量趋近于无穷大或者某个特定值时越来越精确，我们就可以称这两个函数在那个点是等价无穷小的。

比如说，当x趋近于0时，sin(x)和x就是等价无穷小，因为你看，sin(0)等于0，而且随着x越来越小，sin(x)和x的值也越来越接近，再比如，当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)和e也是等价无穷小的，因为随着x趋近于0，(1+x)^(1/x)的值会趋近于e的自然对数，也就是大约2.718。

等价无穷小也不是万能的，如果我们不小心，就会掉进坑里，当x趋近于0时，虽然1-cos(x)和x^2看起来差不多，但它们并不是等价无穷小，因为1-cos(x)的极限是0，而x^2的极限也是0，但它们趋近0的速度不一样，1-cos(x)的趋近速度比x^2快，所以不能简单地用x^2来近似1-cos(x)。

再举个栗子，如果你在计算极限的时候，把(1+x)^(1/x)直接近似成e，而不看x趋近于哪个值，那可能就会出错，因为只有当x趋近于0的时候，这个近似才是准确的，如果x趋近于某个非零的有限值，比如1，那么这个近似就完全不对了。

用等价无穷小的时候，得看清楚情况，别乱来，就像做饭，食材对了，火候也得对，不然就做不出好菜了。