什么矩阵可以对角化(怎么判断矩阵可不可对角化）

矩阵能否对角化，关键在于它是否拥有足够的线性无关的特征向量，如果一个矩阵有n个线性无关的特征向量，那么它可以对角化，特征向量的数量必须等于矩阵的阶数n，判断矩阵是否可对角化的常用方法是看它的特征值的代数重数是否等于其特征向量的几何重数。

比如说，假设我们有一个3阶矩阵，它有三个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量都是线性无关的，那么这个矩阵就可以对角化，但要是有一个特征值的代数重数是2，而对应的特征向量只有一个，那这个矩阵就无法对角化。

举个例子，考虑矩阵

M = egin{bmatrix}

2 & 0 & 0 \

0 & 5 & 0 \

0 & 0 & 3 \

end{bmatrix}

这个矩阵有三个不同的特征值2, 5, 和3，每个特征值都有对应的线性无关的特征向量，比如对于特征值2，特征向量可以是(egin{bmatrix}1 \ 0 \ 0end{bmatrix})，对于5是(egin{bmatrix}0 \ 1 \ 0end{bmatrix})，对于3是(egin{bmatrix}0 \ 0 \ 1end{bmatrix})，因为每个特征值都能找到线性无关的特征向量，所以这个矩阵是可以对角化的。

相反，如果有一个矩阵，比如

N = egin{bmatrix}

4 & 1 \

0 & 4 \

end{bmatrix}

这个矩阵有一个特征值4，它的代数重数是2，但是只有一个线性无关的特征向量，egin{bmatrix}1 \ 0end{bmatrix})，所以这个矩阵就不能对角化。

判断矩阵是否可对角化，就是看它是否有足够的线性无关的特征向量，如果每个特征值的几何重数都等于它的代数重数，那么这个矩阵就可以对角化。