n分之一构成的级数为什么是发散的？

对于由$\frac{1}{n}$构成的级数，即调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，可以用反证法来证明它是发散的。

假设调和级数收敛，设其和为$S$。将这个级数按奇数项和偶数项分成两个子级数：

奇数项子级数：$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots$

偶数项子级数：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots$

把偶数项子级数的每一项都乘以$2$，得到：$\frac{1}{2}\times2+\frac{1}{4}\times2+\frac{1}{6}\times2+\cdots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$。

可以发现这个新得到的级数与原调和级数几乎一样，只是多了一个开头的$1$，那么它的和应该比原调和级数的和$S$大，但同时它又等于原调和级数和的$2$倍，即$2S$，这就产生了矛盾，所以调和级数是发散的。